Probleme de Matematică aplicată — Clasa a 12-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 653 probleme cu rezolvări complete
Teorie Matematică aplicată — Formule si exemple rezolvate

Matematica aplicată conectează teoria matematică cu probleme din viața reală. Include modelări matematice, optimizări și interpretări practice ale conceptelor abstracte.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

186

probleme

Mediu

176

probleme

Greu

1

probleme

Grile de Matematică aplicată

290 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția profitului P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)R(x) = x \cdot p(x) este venitul total.
23 puncte
Calculați R(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2 și exprimați P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+10)=−0.1x3+1.5x2+35x−10P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 10.
33 puncte
Găsiți derivata P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35. Rezolvați P′(x)=0P'(x) = 0 pentru punctele critice: −0.3x2+3x+35=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0. Multiplicați cu 10: −3x2+30x+350=0-3x^2 + 30x + 350 = 0 sau 3x2−30x−350=03x^2 - 30x - 350 = 0. Discriminantul: Δ=900+4200=5100\Delta = 900 + 4200 = 5100, deci x=30±51006x = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6}. Având în vedere x≥0x \geq 0, se consideră rădăcina pozitivă, de exemplu x=30+10516=5+5513x = \frac{30 + 10\sqrt{51}}{6} = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3} (sau aproximativ 16.9).
42 puncte
Verificați că punctul critic este de maxim folosind a doua derivată: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru xx găsit, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este maxim. Calculați P(x)P(x) la acest xx pentru profitul maxim, de exemplu Pmax≈296.15P_{\text{max}} \approx 296.15 mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificați parametrii distribuției binomiale: numărul de încercări n=20n = 20, probabilitatea de succes p=0.3p = 0.3, probabilitatea de eșec q=1−p=0.7q = 1 - p = 0.7.
23 puncte
Pentru probabilitatea exactă, folosiți formula: P(X=8)=(208)(0.3)8(0.7)12P(X=8) = \binom{20}{8} (0.3)^8 (0.7)^{12}. Calculați coeficientul binomial (208)=125970\binom{20}{8} = 125970 și puterile: (0.3)8≈0.00006561(0.3)^8 \approx 0.00006561, (0.7)12≈0.013841(0.7)^{12} \approx 0.013841.
33 puncte
Pentru probabilitatea cel puțin 5, calculați P(X≥5)=1−P(X<5)=1−∑k=04P(X=k)P(X \geq 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - \sum_{k=0}^{4} P(X=k), unde P(X=k)=(20k)(0.3)k(0.7)20−kP(X=k) = \binom{20}{k} (0.3)^k (0.7)^{20-k}. De exemplu, calculați P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4)P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4) și suma lor.
42 puncte
Efectuați calculele numerice: P(X=8)≈125970×0.00006561×0.013841≈0.1144P(X=8) \approx 125970 \times 0.00006561 \times 0.013841 \approx 0.1144. Pentru P(X≥5)P(X \geq 5), suma parțială ∑k=04P(X=k)≈0.0008+0.0068+0.0278+0.0716+0.1304≈0.2374\sum_{k=0}^{4} P(X=k) \approx 0.0008 + 0.0068 + 0.0278 + 0.0716 + 0.1304 \approx 0.2374, deci P(X≥5)≈1−0.2374=0.7626P(X \geq 5) \approx 1 - 0.2374 = 0.7626.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din condiția P(2)=4000P(2) = 4000, obținem 4000=1000⋅e2k4000 = 1000 \cdot e^{2k}, deci e2k=4e^{2k} = 4. Rezolvând, k=ln⁡42=ln⁡2k = \frac{\ln 4}{2} = \ln 2.\n
24 puncte
Înlocuind kk în legea de creștere, avem P(t)=1000⋅etln⁡2=1000⋅2tP(t) = 1000 \cdot e^{t \ln 2} = 1000 \cdot 2^t.\n
33 puncte
Pentru P(t)=16000P(t) = 16000, ecuația devine 16000=1000⋅2t16000 = 1000 \cdot 2^t, deci 2t=162^t = 16. Rezolvând, t=4t = 4 ore.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea formulei pentru suma finală în cazul dobânzii compuse anuale: A=P(1+r)tA = P(1+r)^t, unde P=5000P=5000, r=0.05r=0.05.\n
23 puncte
Stabilirea ecuației pentru dublarea sumei: 2P=P(1.05)t2P = P(1.05)^t, de unde 2=(1.05)t2 = (1.05)^t.\n
33 puncte
Aplicarea logaritmului natural: ln⁡2=t⋅ln⁡1.05\ln 2 = t \cdot \ln 1.05.\n
42 puncte
Calculul lui tt: t=ln⁡2ln⁡1.05≈0.69310.04879≈14.206t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx \frac{0.6931}{0.04879} \approx 14.206. Deci, suma se dublează după aproximativ 14 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Matematică aplicatăAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un observator se află pe o linie orizontală și vede vârful unui turn sub un unghi de elevație de 60∘60^\circ. Mergând 30 de metri îndepărtându-se de turn, unghiul de elevație devine 30∘30^\circ. Care este înălțimea turnului? (Se consideră că observatorul și baza turnului sunt pe aceeași linie orizontală.)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm cu hh înălțimea turnului și cu xx distanța inițială de la observator la baza turnului. Din primul triunghi dreptunghic: tan⁡60∘=hx\tan 60^\circ = \frac{h}{x}, deci h=xtan⁡60∘=x3h = x \tan 60^\circ = x \sqrt{3}.\n
23 puncte
După îndepărtare, distanța devine x+30x+30. Din al doilea triunghi: tan⁡30∘=hx+30\tan 30^\circ = \frac{h}{x+30}, deci h=(x+30)tan⁡30∘=(x+30)33h = (x+30) \tan 30^\circ = (x+30) \frac{\sqrt{3}}{3}.\n
32 puncte
Egalam cele două expresii pentru hh: x3=(x+30)33x \sqrt{3} = (x+30) \frac{\sqrt{3}}{3}. Simplificăm 3\sqrt{3} și obținem x=x+303x = \frac{x+30}{3}.\n
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 3x=x+30→2x=30→x=153x = x+30 \rightarrow 2x=30 \rightarrow x=15 metri. Atunci h=153h = 15 \sqrt{3} metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un fermier dorește să construiască un teren dreptunghiular adiacent unui zid existent, astfel încât să folosească zidul ca una dintre laturi. Pentru celelalte trei laturi, are la dispoziție 100 m de gard. Determinați dimensiunile terenului (lungimea și lățimea) astfel încât aria acestuia să fie maximă.
Ușor#7Matematică aplicatăMatematică financiarăLogaritmi
O bancă oferă un depozit cu o dobândă anuală de 4%4\%, compusă anual. Un client depune 30003000 de lei. Calculați suma acumulată după 88 ani. Apoi, determinați timpul necesar (în ani întregi) pentru ca suma inițială să se tripleze, folosind logaritmi.
Mediu#8Matematică aplicatăProcenteLogaritmi
Un investitor depune o sumă de bani într-un fond cu dobândă compusă anuală. După 5 ani, investiția a crescut cu 27,63% față de suma inițială. Determinați rata anuală a dobânzii. Apoi, calculați numărul minim de ani necesari pentru ca investiția să se tripleze, presupunând aceeași rată a dobânzii și rotunjind rezultatul la cel mai apropiat număr întreg. Formula pentru valoarea viitoare este V=P(1+r100)nV = P(1 + \frac{r}{100})^n, unde PP este suma inițială, rr este rata anuală în procente, și nn este numărul de ani.
Mediu#9Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un fermier are la dispoziție 100 m de gard pentru a construi un depozit dreptunghiular. El dorește să maximizeze aria depozitului. Determinați dimensiunile care asigură aria maximă. Apoi, presupunând că costul construcției peretelui este de 200 lei/m pentru laturile lungi și 150 lei/m pentru laturile scurte, și că depozitul trebuie să aibă o arie de cel puțin 600 m², găsiți dimensiunile care minimizează costul total al construcției.
Mediu#10Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+20C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 20, pentru x≥0x \ge 0. Cererea p(x)p(x) (prețul unitar în lei) este dată de p(x)=100−2xp(x) = 100 - 2x, pentru x≥0x \ge 0, unde xx este numărul de unități vândute. Determinați: a) Venitul total V(x)V(x) și profitul total P(x)P(x). b) Numărul de unități xx care maximizează profitul și profitul maxim. c) Intervalul de producție pentru care profitul este pozitiv.

Și alte 353 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Accesează toate cele 653 probleme de Matematică aplicată cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 12-a

→Grupuri
579 probleme
→Inele și corpuri
486 probleme
→Integrale definite
598 probleme
→Legi de compoziție
641 probleme
→Primitive
595 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.