MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Pentru a măsura înălțimea unui turn, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful turnului și obține 30°. Apoi se îndepărtează cu 20 de metri de turn și măsoară din nou unghiul de elevație, obținând 25°. Calculați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal și turnul este vertical.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm cu hh înălțimea turnului și cu dd distanța inițială de la observator la baza turnului. Din primul măsurător: tan⁡(30∘)=hd\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d}, deci h=d⋅tan⁡(30∘)h = d \cdot \tan(30^{\circ}). Din al doilea măsurător: tan⁡(25∘)=hd+20\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d+20}, deci h=(d+20)⋅tan⁡(25∘)h = (d+20) \cdot \tan(25^{\circ}).
23 puncte
Echivalând expresiile pentru hh: d⋅tan⁡(30∘)=(d+20)⋅tan⁡(25∘)d \cdot \tan(30^{\circ}) = (d+20) \cdot \tan(25^{\circ}). Rezolvăm pentru dd: d(tan⁡(30∘)−tan⁡(25∘))=20tan⁡(25∘)d (\tan(30^{\circ}) - \tan(25^{\circ})) = 20 \tan(25^{\circ}), deci d=20tan⁡(25∘)tan⁡(30∘)−tan⁡(25∘)d = \frac{20 \tan(25^{\circ})}{\tan(30^{\circ}) - \tan(25^{\circ})}.
32 puncte
Calculăm valorile: tan⁡(30∘)=33≈0.5774\tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.5774, tan⁡(25∘)≈0.4663\tan(25^{\circ}) \approx 0.4663. Atunci d≈20×0.46630.5774−0.4663≈9.3260.1111≈83.94d \approx \frac{20 \times 0.4663}{0.5774 - 0.4663} \approx \frac{9.326}{0.1111} \approx 83.94 metri.
42 puncte
Înălțimea h=d⋅tan⁡(30∘)≈83.94×0.5774≈48.46h = d \cdot \tan(30^{\circ}) \approx 83.94 \times 0.5774 \approx 48.46 metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.