MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMatematică aplicată
O companie produce un produs. Funcția costului este C(x)=500+40x+0.2x2C(x) = 500 + 40x + 0.2x^2 iar funcția venitului este R(x)=150x−0.3x2R(x) = 150x - 0.3x^2, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Guvernul introduce o taxă de tt lei per unitate vândută. a) Găsiți valoarea lui tt pentru care profitul maxim este nul. b) Pentru t=10t = 10, determinați numărul de unități care maximizează profitul și profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția profitului fără taxă: P(x)=R(x)−C(x)=(150x−0.3x2)−(500+40x+0.2x2)=110x−0.5x2−500P(x) = R(x) - C(x) = (150x - 0.3x^2) - (500 + 40x + 0.2x^2) = 110x - 0.5x^2 - 500.
22 puncte
Introduceți taxa tt: venitul net devine R(x)−tx=150x−0.3x2−txR(x) - t x = 150x - 0.3x^2 - t x, deci profitul cu taxă este Pt(x)=(150x−0.3x2−tx)−(500+40x+0.2x2)=(110−t)x−0.5x2−500P_t(x) = (150x - 0.3x^2 - t x) - (500 + 40x + 0.2x^2) = (110 - t)x - 0.5x^2 - 500.
33 puncte
Pentru partea a), găsiți tt astfel încât profitul maxim să fie nul. Derivați Pt(x)P_t(x): Pt′(x)=110−t−xP_t'(x) = 110 - t - x. Setați Pt′(x)=0P_t'(x) = 0 pentru maxim: x=110−tx = 110 - t. Profitul maxim este Pt(110−t)=(110−t)(110−t)−0.5(110−t)2−500=0.5(110−t)2−500P_t(110 - t) = (110 - t)(110 - t) - 0.5(110 - t)^2 - 500 = 0.5(110 - t)^2 - 500. Setați acesta egal cu 0: 0.5(110−t)2−500=0⇒(110−t)2=1000⇒110−t=±10100.5(110 - t)^2 - 500 = 0 \Rightarrow (110 - t)^2 = 1000 \Rightarrow 110 - t = \pm 10\sqrt{10}. Deoarece xx trebuie să fie pozitiv și tt probabil pozitiv, 110−t=1010⇒t=110−1010110 - t = 10\sqrt{10} \Rightarrow t = 110 - 10\sqrt{10}.
43 puncte
Pentru partea b), cu t=10t = 10, P10(x)=(110−10)x−0.5x2−500=100x−0.5x2−500P_{10}(x) = (110 - 10)x - 0.5x^2 - 500 = 100x - 0.5x^2 - 500. Derivați: P10′(x)=100−xP_{10}'(x) = 100 - x, setați la 0: x=100x = 100. Profitul maxim: P10(100)=100⋅100−0.5⋅1002−500=10000−5000−500=4500P_{10}(100) = 100 \cdot 100 - 0.5 \cdot 100^2 - 500 = 10000 - 5000 - 500 = 4500 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.