MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Funcția costului total este dată de C(x)=0.01x3−1.5x2+90x+1000C(x) = 0.01x^3 - 1.5x^2 + 90x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este dat de p(x)=120−0.5xp(x) = 120 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția venitului R(x)=x⋅p(x)=120x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = 120x - 0.5x^2.
23 puncte
Scrieți funcția profitului P(x)=R(x)−C(x)=−0.01x3+x2+30x−1000P(x) = R(x) - C(x) = -0.01x^3 + x^2 + 30x - 1000.
33 puncte
Derivați P(x)P(x) pentru a găsi punctele critice: P′(x)=−0.03x2+2x+30P'(x) = -0.03x^2 + 2x + 30, rezolvați P′(x)=0P'(x)=0 pentru a obține x=100+101903x = \frac{100 + 10\sqrt{190}}{3} (doar rădăcina pozitivă) și verificați că este maxim folosind derivata a doua P′′(x)=−0.06x+2<0P''(x) = -0.06x + 2 < 0.
42 puncte
Calculați profitul maxim înlocuind xx în P(x)P(x): P(100+101903)P\left(\frac{100 + 10\sqrt{190}}{3}\right) și simplificați.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.