MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un producător de conserve dorește să minimizeze costul materialului pentru cutiile cilindrice. Costul pentru baze este de 22 u.m./cm2^2, iar pentru suprafața laterală este de 11 u.m./cm2^2. Volumul cutiei trebuie să fie de 500π500\pi cm3^3. Să se determine raza și înălțimea cutiei pentru care costul total este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se notează cu rr raza bazei și cu hh înălțimea cutiei. Se scrie volumul: V=πr2h=500πV = \pi r^2 h = 500\pi, deci r2h=500r^2 h = 500.
22 puncte
Se exprimă costul total: C=2⋅(2πr2)+1⋅(2πrh)=4πr2+2πrhC = 2 \cdot (2\pi r^2) + 1 \cdot (2\pi r h) = 4\pi r^2 + 2\pi r h. Folosind h=500r2h = \frac{500}{r^2}, se obține C(r)=4πr2+1000πrC(r) = 4\pi r^2 + \frac{1000\pi}{r}.
33 puncte
Se calculează derivata: C′(r)=8πr−1000πr2C'(r) = 8\pi r - \frac{1000\pi}{r^2}. Se rezolvă C′(r)=0C'(r) = 0, adică 8πr−1000πr2=08\pi r - \frac{1000\pi}{r^2} = 0, de unde 8r3=10008r^3 = 1000 și r3=125r^3 = 125, deci r=5r = 5 cm.
42 puncte
Se verifică că punctul critic este de minim, de exemplu prin semnul derivatei sau derivata a doua: C′′(r)=8π+2000πr3>0C''(r) = 8\pi + \frac{2000\pi}{r^3} > 0 pentru r>0r>0, deci r=5r=5 este punct de minim.
51 punct
Se calculează h=500r2=50025=20h = \frac{500}{r^2} = \frac{500}{25} = 20 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.