MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu costul total dat de funcția C(x)=0.01x2+50x+1000C(x) = 0.01x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=100−0.1xp(x) = 100 - 0.1x. Determinați nivelul de producție xx care maximizează profitul companiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scrieți funcția venit: V(x)=x⋅p(x)=x(100−0.1x)=100x−0.1x2V(x) = x \cdot p(x) = x(100 - 0.1x) = 100x - 0.1x^2.
22 puncte
Scrieți funcția profit: P(x)=V(x)−C(x)=(100x−0.1x2)−(0.01x2+50x+1000)P(x) = V(x) - C(x) = (100x - 0.1x^2) - (0.01x^2 + 50x + 1000).
32 puncte
Simplificați funcția profit: P(x)=100x−0.1x2−0.01x2−50x−1000=50x−0.11x2−1000P(x) = 100x - 0.1x^2 - 0.01x^2 - 50x - 1000 = 50x - 0.11x^2 - 1000.
42 puncte
Găsiți derivata: P′(x)=50−0.22xP'(x) = 50 - 0.22x.
51 punct
Puneți derivata egală cu zero pentru puncte critice: 50−0.22x=0⇒x=500.22≈227.2750 - 0.22x = 0 \Rightarrow x = \frac{50}{0.22} \approx 227.27.
61 punct
Verificați că acesta este un maxim (derivata a doua: P′′(x)=−0.22<0P''(x) = -0.22 < 0, deci este maxim).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.