MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+20x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 20x + 100, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități). Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în lei). Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se definește funcția profit: P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2. Atunci P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+20x+100)=−0.1x3+1.5x2+30x−100P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 20x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 30x - 100.
23 puncte
Se calculează derivata: P′(x)=−0.3x2+3x+30P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 30. Se rezolvă P′(x)=0P'(x) = 0: −0.3x2+3x+30=0⇒x2−10x−100=0⇒x=10±100+4002=10±5002=10±1052=5±55-0.3x^2 + 3x + 30 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x - 100 = 0 \Rightarrow x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 400}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{500}}{2} = \frac{10 \pm 10\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{5}. Soluțiile sunt x1=5−55<0x_1 = 5 - 5\sqrt{5} < 0 (nu are sens economic) și x2=5+55≈16.18x_2 = 5 + 5\sqrt{5} \approx 16.18 (mii unități).
33 puncte
Se studiază semnul derivatei a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x=5+55x = 5 + 5\sqrt{5}, P′′(x)<0P''(x) < 0 (deoarece x>5x > 5), deci funcția are un maxim local în acest punct.
42 puncte
Se calculează profitul maxim: P(5+55)=−0.1(5+55)3+1.5(5+55)2+30(5+55)−100P(5 + 5\sqrt{5}) = -0.1(5 + 5\sqrt{5})^3 + 1.5(5 + 5\sqrt{5})^2 + 30(5 + 5\sqrt{5}) - 100. Se obține Pmax≈754.25P_{\text{max}} \approx 754.25 lei (valoarea aproximativă calculată).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.