MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce cutii rectangulare cu baza pătrată și fără capac. Volumul cutiei trebuie să fie de 44 m³. Materialul pentru bază costă 1010 lei/m², iar pentru fețele laterale costă 55 lei/m². Să se determine dimensiunile cutiei (latura bazei și înălțimea) care minimizează costul total al materialului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm cu xx latura bazei pătrate (în metri) și cu hh înălțimea (în metri). Din condiția volumului: x2h=4x^2 h = 4, deci h=4x2h = \frac{4}{x^2}.
23 puncte
Costul total: bază are aria x2x^2, cost 10x210x^2; fețele laterale: 4 fețe, fiecare cu aria xhx h, deci aria totală laterală 4xh=4x⋅4x2=16x4x h = 4x \cdot \frac{4}{x^2} = \frac{16}{x}, cost 5⋅16x=80x5 \cdot \frac{16}{x} = \frac{80}{x}. Funcția cost: C(x)=10x2+80xC(x) = 10x^2 + \frac{80}{x}, x>0x > 0.
33 puncte
Derivata: C′(x)=20x−80x2C'(x) = 20x - \frac{80}{x^2}. Puncte critice: C′(x)=0⇒20x=80x2⇒x3=4⇒x=43C'(x) = 0 \Rightarrow 20x = \frac{80}{x^2} \Rightarrow x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}.
42 puncte
Studiem semnul derivatei sau folosim derivata a doua pentru a arăta că x=43x = \sqrt[3]{4} dă un minim. Atunci h=4x2=4(43)2=43h = \frac{4}{x^2} = \frac{4}{(\sqrt[3]{4})^2} = \sqrt[3]{4}. Dimensiunile sunt: latura bazei 43\sqrt[3]{4} m, înălțimea 43\sqrt[3]{4} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.