MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăMatematică financiară
O companie produce un articol. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100 (în mii de lei), iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția profitului P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−0.5x)−(0.1x3−3x2+30x+100)=−0.1x3+2.5x2+20x−100P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50-0.5x) - (0.1x^3-3x^2+30x+100) = -0.1x^3 + 2.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Calculați derivata P′(x)=−0.3x2+5x+20P'(x) = -0.3x^2 + 5x + 20 și rezolvați ecuația P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.3x2+5x+20=0-0.3x^2 + 5x + 20 = 0. Înmulțiți cu 10: −3x2+50x+200=0-3x^2 + 50x + 200 = 0 sau 3x2−50x−200=03x^2 - 50x - 200 = 0. Discriminantul Δ=2500+2400=4900\Delta = 2500 + 2400 = 4900, Δ=70\sqrt{\Delta}=70, deci x=50±706x = \frac{50 \pm 70}{6}. Soluțiile sunt x=−103x = -\frac{10}{3} (negativă, se respinge) și x=20x = 20.
32 puncte
Verificați că x=20x=20 este punct de maxim folosind a doua derivată: P′′(x)=−0.6x+5P''(x) = -0.6x + 5. P′′(20)=−0.6⋅20+5=−12+5=−7<0P''(20) = -0.6 \cdot 20 + 5 = -12 + 5 = -7 < 0, deci este maxim.
43 puncte
Calculați profitul maxim: P(20)=−0.1⋅203+2.5⋅202+20⋅20−100=−0.1⋅8000+2.5⋅400+400−100=−800+1000+400−100=500P(20) = -0.1 \cdot 20^3 + 2.5 \cdot 20^2 + 20 \cdot 20 - 100 = -0.1 \cdot 8000 + 2.5 \cdot 400 + 400 - 100 = -800 + 1000 + 400 - 100 = 500. Profitul maxim este 500 mii de lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.