MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Pentru a estima lățimea unui râu, un topograf măsoară de pe un mal un unghi de 60∘60^\circ către un copac de pe malul opus. Mergând paralel cu râul 40 de metri în jos, măsoară un nou unghi de 30∘30^\circ către același copac. Calculați lățimea râului (distanța perpendiculară între maluri) și distanța totală față de copac de la a doua poziție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm ww lățimea râului (distanța perpendiculară) și dd distanța inițială până la copac (ipotenuză într-un triunghi dreptunghic). Din primul unghi: sin⁡60∘=wd⇒32=wd\sin 60^\circ = \frac{w}{d} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{w}{d}. Din al doilea unghi, după deplasarea de 40 m, distanța față de copac devine d′d', cu sin⁡30∘=wd′⇒12=wd′\sin 30^\circ = \frac{w}{d'} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{w}{d'}.
24 puncte
Din ecuații, w=32dw = \frac{\sqrt{3}}{2} d și w=12d′w = \frac{1}{2} d'. Deplasarea de 40 m este diferența dintre proiecțiile orizontale: dcos⁡60∘−d′cos⁡30∘=40d \cos 60^\circ - d' \cos 30^\circ = 40. Substituind cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} și expresiile pentru dd și d′d' în funcție de ww, obținem: w3/2⋅12−w1/2⋅32=40⇒w3−3w=40\frac{w}{\sqrt{3}/2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{w}{1/2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \Rightarrow \frac{w}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} w = 40.
32 puncte
Rezolvarea: w(13−3)=40⇒w(1−33)=40⇒−2w3=40⇒w=−203w\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}\right) = 40 \Rightarrow w\left(\frac{1-3}{\sqrt{3}}\right) = 40 \Rightarrow \frac{-2w}{\sqrt{3}} = 40 \Rightarrow w = -20\sqrt{3}. Lățimea este 20320\sqrt{3} metri (valoarea pozitivă, aproximativ 34.64 m). Distanța d′=2w=403d' = 2w = 40\sqrt{3} metri (aproximativ 69.28 m).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.