MediuMatematică financiarăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProcenteEcuații exponentiale
O persoană are de ales între două opțiuni de investiție: Opțiunea A oferă dobândă compusă anuală de 6%6\%, iar Opțiunea B oferă dobândă simplă anuală de 8%8\%. Suma investită este de 50005000 de lei. Determinați după câți ani suma acumulată în Opțiunea A depășește suma acumulată în Opțiunea B. Verificați dacă există un moment în care sumele sunt egale și determinați acel moment.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți formulele pentru sumele acumulate: pentru Opțiunea A, SA=5000⋅(1+0.06)nS_A = 5000 \cdot (1+0.06)^n; pentru Opțiunea B, SB=5000⋅(1+0.08⋅n)S_B = 5000 \cdot (1 + 0.08 \cdot n), unde nn este numărul de ani.
22 puncte
Setați ecuația pentru egalitatea sumelor: 5000⋅(1.06)n=5000⋅(1+0.08n)5000 \cdot (1.06)^n = 5000 \cdot (1 + 0.08n). Simplificați: (1.06)n=1+0.08n(1.06)^n = 1 + 0.08n.
33 puncte
Rezolvați ecuația (1.06)n=1+0.08n(1.06)^n = 1 + 0.08n. Aceasta nu are o soluție algebrică exactă, deci se poate rezolva numeric. Prin încercări: pentru n=10n=10, 1.0610≈1.79081.06^{10} \approx 1.7908 și 1+0.08⋅10=1.81+0.08\cdot10=1.8, deci SA<SBS_A < S_B. Pentru n=11n=11, 1.0611≈1.89831.06^{11} \approx 1.8983 și 1+0.08⋅11=1.881+0.08\cdot11=1.88, deci SA>SBS_A > S_B. Momentul de egalitate este între n=10n=10 și n=11n=11. Se poate folosi logaritmi pentru o aproximare mai precisă: nln⁡(1.06)=ln⁡(1+0.08n)n \ln(1.06) = \ln(1+0.08n), rezolvând numeric se obține n≈10.5n \approx 10.5 ani.
43 puncte
Din pașii anteriori, suma în Opțiunea A depășește suma în Opțiunea B după n=11n=11 ani. Răspuns: După 11 ani, SA>SBS_A > S_B, iar momentul de egalitate este aproximativ la 10.5 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.