MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.01x3−1.5x2+90x+1000C(x) = 0.01x^3 - 1.5x^2 + 90x + 1000, unde xx este numărul de unități produse, iar funcția venitului total este V(x)=200x−0.5x2V(x) = 200x - 0.5x^2. Determinați cantitatea de produse care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția profitului: P(x)=V(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.01x3−1.5x2+90x+1000)=−0.01x3+x2+110x−1000P(x) = V(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.01x^3 - 1.5x^2 + 90x + 1000) = -0.01x^3 + x^2 + 110x - 1000.
23 puncte
Găsiți derivata funcției profitului: P′(x)=−0.03x2+2x+110P'(x) = -0.03x^2 + 2x + 110.
33 puncte
Determinați punctele critice rezolvând P′(x)=0P'(x) = 0: −0.03x2+2x+110=0-0.03x^2 + 2x + 110 = 0. Multiplicați cu 100: −3x2+200x+11000=0-3x^2 + 200x + 11000 = 0, deci 3x2−200x−11000=03x^2 - 200x - 11000 = 0. Discriminantul: Δ=40000+132000=172000\Delta = 40000 + 132000 = 172000, deci x=200±1720006x = \frac{200 \pm \sqrt{172000}}{6}. 172000=172×1000=10017.2\sqrt{172000} = \sqrt{172 \times 1000} = 100\sqrt{17.2}, dar păstrăm exact: x=100±104303x = \frac{100 \pm 10\sqrt{430}}{3}. Deoarece xx trebuie să fie pozitiv, considerăm x=100+104303≈102.47x = \frac{100 + 10\sqrt{430}}{3} \approx 102.47. Verificați că pentru acest xx, derivata a doua este negativă.
42 puncte
Calculați derivata a doua: P′′(x)=−0.06x+2P''(x) = -0.06x + 2. Pentru x≈102.47x \approx 102.47, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este maxim. Înlocuiți xx în P(x)P(x) pentru profitul maxim: Pmax=−0.01(102.47)3+(102.47)2+110×102.47−1000≈4500P_{max} = -0.01(102.47)^3 + (102.47)^2 + 110 \times 102.47 - 1000 \approx 4500 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.