MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un bun. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x2+10x+1000C(x) = 0.01x^2 + 10x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați numărul de unități care trebuie produse și vândute pentru a maximiza profitul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se definește funcția profitului: Π(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−0.5x)−(0.01x2+10x+1000)\Pi(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50 - 0.5x) - (0.01x^2 + 10x + 1000).
23 puncte
Se simplifică: Π(x)=50x−0.5x2−0.01x2−10x−1000=−0.51x2+40x−1000\Pi(x) = 50x - 0.5x^2 - 0.01x^2 - 10x - 1000 = -0.51x^2 + 40x - 1000.
33 puncte
Se derivează: Π′(x)=−1.02x+40\Pi'(x) = -1.02x + 40. Se rezolvă Π′(x)=0\Pi'(x) = 0: −1.02x+40=0⇒x=401.02≈39.2157-1.02x + 40 = 0 \Rightarrow x = \frac{40}{1.02} \approx 39.2157.
42 puncte
Se verifică că este maxim: Π′′(x)=−1.02<0\Pi''(x) = -1.02 < 0, deci funcția este concavă și punctul critic este maxim. Răspuns: trebuie produse aproximativ 39 de unități (sau exact x=200051x = \frac{2000}{51}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.