MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse (în mii). Prețul de vânzare este de 20 de lei per unitate. Determinați numărul de unități care trebuie produse pentru a maximiza profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Funcția venit: V(x)=20xV(x) = 20x (deoarece prețul este 20 lei/unitate și xx în mii, dar se lucrează în aceleași unități). Funcția profit: P(x)=V(x)−C(x)=20x−(0.1x3−3x2+30x+100)=−0.1x3+3x2−10x−100P(x) = V(x) - C(x) = 20x - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 3x^2 - 10x - 100.
23 puncte
Derivata întâi: P′(x)=−0.3x2+6x−10P'(x) = -0.3x^2 + 6x - 10. Se rezolvă P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+6x−10=0⇒0.3x2−6x+10=0⇒3x2−60x+100=0-0.3x^2 + 6x - 10 = 0 \Rightarrow 0.3x^2 - 6x + 10 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 60x + 100 = 0. Discriminant: Δ=3600−1200=2400\Delta = 3600 - 1200 = 2400, deci x1,2=60±24006=60±2066=10±1063x_{1,2} = \frac{60 \pm \sqrt{2400}}{6} = \frac{60 \pm 20\sqrt{6}}{6} = 10 \pm \frac{10\sqrt{6}}{3}. Aproximativ: x1≈10−8.165=1.835x_1 \approx 10 - 8.165 = 1.835, x2≈10+8.165=18.165x_2 \approx 10 + 8.165 = 18.165.
33 puncte
Derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+6P''(x) = -0.6x + 6. Pentru x1≈1.835x_1 \approx 1.835: P′′(1.835)≈−1.101+6=4.899>0P''(1.835) \approx -1.101 + 6 = 4.899 > 0, deci minim local. Pentru x2≈18.165x_2 \approx 18.165: P′′(18.165)≈−10.899+6=−4.899<0P''(18.165) \approx -10.899 + 6 = -4.899 < 0, deci maxim local. Se verifică domeniul practic: x≥0x \geq 0, maximul este la x2x_2.
42 puncte
Profitul maxim: P(18.165)=−0.1(18.165)3+3(18.165)2−10(18.165)−100P(18.165) = -0.1(18.165)^3 + 3(18.165)^2 - 10(18.165) - 100. Calcul aproximativ: ≈−0.1(5994.8)+3(330.0)−181.65−100=−599.48+990−181.65−100=108.87\approx -0.1(5994.8) + 3(330.0) - 181.65 - 100 = -599.48 + 990 - 181.65 - 100 = 108.87 (în mii lei). Deci, numărul de unități: aproximativ 18.165 mii = 18165 unități, profit maxim aproximativ 108870 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.