MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
Profitul unei firme, în mii de lei, obținut din vânzarea a xx mii de unități dintr-un produs, este dat de funcția P(x)=−x3+12x2−36x+20P(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 20, pentru x∈[0,10]x \in [0, 10]. Determinați cantitatea care maximizează profitul pe intervalul dat și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scrierea funcției profit: P(x)=−x3+12x2−36x+20P(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 20.
22 puncte
Calculul derivatei: P′(x)=−3x2+24x−36P'(x) = -3x^2 + 24x - 36.
33 puncte
Aflarea punctelor critice: rezolvăm P′(x)=0⇒−3x2+24x−36=0⇒x2−8x+12=0⇒x=2P'(x)=0 \Rightarrow -3x^2+24x-36=0 \Rightarrow x^2 - 8x + 12=0 \Rightarrow x=2 sau x=6x=6.
43 puncte
Studiul semnului derivatei: pe [0,10], P′(x)>0P'(x) > 0 pentru x∈(2,6)x \in (2,6) și P′(x)<0P'(x) < 0 pentru x∈[0,2)∪(6,10]x \in [0,2) \cup (6,10], deci x=2x=2 este minim local, x=6x=6 este maxim local. Verificăm valorile la capete: P(0)=20P(0)=20, P(10)=−1000+1200−360+20=−140P(10)= -1000+1200-360+20=-140. Maximul este la x=6x=6.
51 punct
Calculul profitului maxim: P(6)=−216+432−216+20=20P(6) = -216 + 432 - 216 + 20 = 20 mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.