MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăArii și volume
Din o foaie de tablă pătrată cu latura de 22 metri, se decupează la colțuri pătrate identice de latură xx metri. Apoi, marginile se îndoaie pentru a forma o cutie fără capac. Determinați valoarea lui xx pentru care volumul cutiei este maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
13 puncte
Exprimați volumul cutiei: lățimea și lungimea bazei sunt 2−2x2 - 2x, înălțimea este xx, deci V(x)=x(2−2x)2=4x(1−x)2V(x) = x(2-2x)^2 = 4x(1-x)^2, pentru x∈(0,1)x \in (0,1).
21 punct
Specificați domeniul: x>0x > 0 și 2−2x>02 - 2x > 0, deci x∈(0,1)x \in (0,1).
32 puncte
Calculați derivata: V′(x)=4(1−x)2−8x(1−x)=4(1−x)(1−3x)V'(x) = 4(1-x)^2 - 8x(1-x) = 4(1-x)(1 - 3x).
42 puncte
Găsiți punctele critice: V′(x)=0⇒x=1V'(x)=0 \Rightarrow x=1 (exclus) sau x=13x=\frac{1}{3}.
51 punct
Analizați semnul derivatei: V′(x)>0V'(x) > 0 pentru x∈(0,13)x \in (0,\frac{1}{3}) și V′(x)<0V'(x) < 0 pentru x∈(13,1)x \in (\frac{1}{3},1), deci x=13x=\frac{1}{3} este punct de maxim.
61 punct
Concluzia: volumul este maxim pentru x=13x = \frac{1}{3} metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.