MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determină numărul de unități care maximizează profitul și profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem funcția de venit: R(x)=x⋅p(x)=50x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = 50x - 0.5x^2.
22 puncte
Scriem funcția de profit: P(x)=R(x)−C(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+100)=−0.1x3+1.5x2+35x−100P(x) = R(x) - C(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 100.
32 puncte
Calculăm derivata funcției profit: P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35.
43 puncte
Rezolvăm ecuația P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+3x+35=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0. Înmulțim cu −10-10: 3x2−30x−350=03x^2 - 30x - 350 = 0. Discriminantul: Δ=900+4200=5100\Delta = 900 + 4200 = 5100, deci x=30±51006=30±10516=5±5513x = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6} = \frac{30 \pm 10\sqrt{51}}{6} = 5 \pm \frac{5\sqrt{51}}{3}. Selectăm rădăcina pozitivă: x=5+5513x = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3} (aproximativ 16.9). Aceasta este cantitatea care maximizează profitul.
51 punct
Calculăm profitul maxim substituind xx în P(x)P(x): Pmax=P(5+5513)P_{\text{max}} = P\left(5 + \frac{5\sqrt{51}}{3}\right). Pentru simplitate, se poate lăsa în formă exactă sau se poate aproxima.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.