MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Pentru a determina înălțimea unui turn, un observator măsoară unghiul de elevație de la un punct la baza turnului ca fiind 30∘30^\circ, iar de la un punct situat la 5050 de metri mai departe pe aceeași linie, unghiul de elevație este de 15∘15^\circ. Să se calculeze înălțimea turnului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează înălțimea turnului cu hh și distanța de la primul punct la baza turnului cu dd. Se scriu ecuațiile trigonometrice: tan⁡30∘=hd\tan 30^\circ = \frac{h}{d} și tan⁡15∘=hd+50\tan 15^\circ = \frac{h}{d + 50}.
25 puncte
Se folosesc valorile exacte: tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} și tan⁡15∘=2−3\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}. Se obține sistemul: hd=33\frac{h}{d} = \frac{\sqrt{3}}{3} și hd+50=2−3\frac{h}{d + 50} = 2 - \sqrt{3}. Din prima ecuație, d=3h3=h3d = \frac{3h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}. Se înlocuiește în a doua: hh3+50=2−3\frac{h}{h\sqrt{3} + 50} = 2 - \sqrt{3}. Se rezolvă pentru hh: h=(h3+50)(2−3)h = (h\sqrt{3} + 50)(2 - \sqrt{3}), deci h=2h3−3h+100−503h = 2h\sqrt{3} - 3h + 100 - 50\sqrt{3}. Se rearanjează: h−2h3+3h=100−503h - 2h\sqrt{3} + 3h = 100 - 50\sqrt{3}, adică h(4−23)=50(2−3)h(4 - 2\sqrt{3}) = 50(2 - \sqrt{3}), de unde h=50(2−3)4−23=25(6−2)h = \frac{50(2 - \sqrt{3})}{4 - 2\sqrt{3}} = 25(\sqrt{6} - \sqrt{2}).
32 puncte
Se calculează valoarea numerică aproximativă: h≈25.88h \approx 25.88 metri și se interpretează rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.