MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are aria de 200 m2200 \, \text{m}^2. Costul de construcție pentru una dintre laturi este de 20 lei/m20 \, \text{lei/m}, iar pentru celelalte trei laturi este de 10 lei/m10 \, \text{lei/m}. Determinați dimensiunile dreptunghiului care minimizează costul total de construcție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează cu xx lungimea laturii cu costul de 20 lei/m20 \, \text{lei/m} și cu yy lungimea celeilalte laturi. Aria este xy=200xy = 200.
23 puncte
Costul total este C=20x+10(x+2y)=30x+20yC = 20x + 10(x + 2y) = 30x + 20y.
33 puncte
Din xy=200xy = 200, exprimăm y=200xy = \frac{200}{x} și înlocuim în CC: C(x)=30x+4000xC(x) = 30x + \frac{4000}{x}. Se calculează derivata: C′(x)=30−4000x2C'(x) = 30 - \frac{4000}{x^2}.
42 puncte
Se rezolvă C′(x)=0C'(x) = 0: 30−4000x2=0⇒x2=400030=4003⇒x=203 m30 - \frac{4000}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{4000}{30} = \frac{400}{3} \Rightarrow x = \frac{20}{\sqrt{3}} \, \text{m}. Atunci y=200x=103 my = \frac{200}{x} = 10\sqrt{3} \, \text{m}. Se verifică că aceasta este o minimă prin semnul derivatei sau derivata a doua.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.