MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100, unde xx este numărul de unități produse (în mii). Venitul total este dat de V(x)=50x−0.5x2V(x) = 50x - 0.5x^2. Determinați numărul de unități care trebuie produse pentru a maximiza profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scriem funcția profit: P(x)=V(x)−C(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+100)P(x) = V(x) - C(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100).
22 puncte
Simplificăm: P(x)=−0.1x3+1.5x2+35x−100P(x) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 100.
32 puncte
Găsim derivata întâi: P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35.
43 puncte
Rezolvăm P′(x)=0P'(x) = 0 pentru punctele critice: −0.3x2+3x+35=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0. Multiplicăm cu 10: −3x2+30x+350=0-3x^2 + 30x + 350 = 0, sau 3x2−30x−350=03x^2 - 30x - 350 = 0. Soluțiile sunt x=30±(−30)2−4⋅3⋅(−350)2⋅3=30±900+42006=30±51006=30±10516x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-350)}}{2 \cdot 3} = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 4200}}{6} = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6} = \frac{30 \pm 10\sqrt{51}}{6}. Avem x1≈−5.85x_1 \approx -5.85 (nu are sens practic) și x2≈19.85x_2 \approx 19.85 mii unități.
52 puncte
Verificăm că x2x_2 dă maximul folosind derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x2≈19.85x_2 \approx 19.85, P′′(19.85)≈−0.6⋅19.85+3≈−11.91+3=−8.91<0P''(19.85) \approx -0.6 \cdot 19.85 + 3 \approx -11.91 + 3 = -8.91 < 0, deci este maxim. Profitul maxim este P(19.85)≈−0.1(19.85)3+1.5(19.85)2+35⋅19.85−100≈782.5P(19.85) \approx -0.1(19.85)^3 + 1.5(19.85)^2 + 35 \cdot 19.85 - 100 \approx 782.5 lei (în mii).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.