MediuMatematică financiarăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceAplicații ale derivatelor
O companie investește într-un proiect care are un cost inițial de 10000 de euro. Se estimează că veniturile anuale cresc anual cu 5% față de anul precedent, începând cu un venit de 2000 de euro în primul an. Costurile de întreținere sunt estimate la 500 de euro anual, crescând cu 2% pe an. Determinați după câți ani profitul total (diferența dintre venituri totale și costuri totale, inclusiv costul inițial) va fi maxim, calculând și acest profit maxim. Se consideră profitul total ca sumă a profiturilor anuale minus costul inițial.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimarea veniturilor anuale ca o progresie geometrică: Vn=2000⋅1.05n−1V_n = 2000 \cdot 1.05^{n-1} pentru n≥1n \ge 1, și a costurilor anuale ca o progresie geometrică: Cn=500⋅1.02n−1C_n = 500 \cdot 1.02^{n-1} pentru n≥1n \ge 1. Suma veniturilor pe nn ani: SV=2000⋅1.05n−10.05S_V = 2000 \cdot \frac{1.05^n - 1}{0.05}, suma costurilor pe nn ani: SC=500⋅1.02n−10.02S_C = 500 \cdot \frac{1.02^n - 1}{0.02}.
23 puncte
Funcția profit total după nn ani: P(n)=SV−SC−10000=2000⋅1.05n−10.05−500⋅1.02n−10.02−10000P(n) = S_V - S_C - 10000 = 2000 \cdot \frac{1.05^n - 1}{0.05} - 500 \cdot \frac{1.02^n - 1}{0.02} - 10000, cu nn număr natural nenul.
32 puncte
Derivarea și studiul monotoniei: P′(n)=2000⋅1.05n⋅ln⁡(1.05)−500⋅1.02n⋅ln⁡(1.02)P'(n) = 2000 \cdot 1.05^n \cdot \ln(1.05) - 500 \cdot 1.02^n \cdot \ln(1.02). Se rezolvă P′(n)=0P'(n) = 0 pentru a găsi punctul critic: 4⋅1.05n⋅ln⁡(1.05)=1.02n⋅ln⁡(1.02)4 \cdot 1.05^n \cdot \ln(1.05) = 1.02^n \cdot \ln(1.02). Se logaritmează și se obține n≈ln⁡(ln⁡(1.02)4⋅ln⁡(1.05))ln⁡(1.05)−ln⁡(1.02)≈7.3n \approx \frac{\ln(\frac{\ln(1.02)}{4 \cdot \ln(1.05)})}{\ln(1.05) - \ln(1.02)} \approx 7.3.
42 puncte
Verificarea maximului: P′′(n)<0P''(n) < 0 deci este maxim. Se ia n=7n = 7 sau n=8n = 8 și se compară P(7)P(7) și P(8)P(8). Calcul: P(7)≈2000⋅1.057−10.05−500⋅1.027−10.02−10000≈16229−3715−10000=2514P(7) \approx 2000 \cdot \frac{1.05^7 - 1}{0.05} - 500 \cdot \frac{1.02^7 - 1}{0.02} - 10000 \approx 16229 - 3715 - 10000 = 2514 euro, P(8)≈2000⋅1.058−10.05−500⋅1.028−10.02−10000≈19048−4141−10000=4907P(8) \approx 2000 \cdot \frac{1.05^8 - 1}{0.05} - 500 \cdot \frac{1.02^8 - 1}{0.02} - 10000 \approx 19048 - 4141 - 10000 = 4907 euro. Deci maximul este la n=8n = 8 ani, cu profit maxim de 4907 euro (rotunjit).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.