MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.01x3−1.2x2+50x+1000C(x) = 0.01x^3 - 1.2x^2 + 50x + 1000 (în lei), iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei. Determinați numărul de unități care trebuie produse și vândute pentru a maximiza profitul firmei.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției profitului: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(200−0.5x)−(0.01x3−1.2x2+50x+1000)=−0.01x3+0.7x2+150x−1000P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(200 - 0.5x) - (0.01x^3 - 1.2x^2 + 50x + 1000) = -0.01x^3 + 0.7x^2 + 150x - 1000.
22 puncte
Calculul derivatei: P′(x)=−0.03x2+1.4x+150P'(x) = -0.03x^2 + 1.4x + 150.
33 puncte
Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x) = 0: −0.03x2+1.4x+150=0⇒3x2−140x−15000=0-0.03x^2 + 1.4x + 150 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 140x - 15000 = 0. Discriminantul: Δ=19600+180000=199600\Delta = 19600 + 180000 = 199600. Soluția pozitivă: x=140+1996006≈140+446.766≈97.79x = \frac{140 + \sqrt{199600}}{6} \approx \frac{140 + 446.76}{6} \approx 97.79. Deoarece numărul de unități este întreg, considerăm x≈98x \approx 98.
42 puncte
Verificarea că punctul critic este de maxim: P′′(x)=−0.06x+1.4P''(x) = -0.06x + 1.4. Pentru x≈98x \approx 98, P′′(98)=−0.06⋅98+1.4=−5.88+1.4=−4.48<0P''(98) = -0.06 \cdot 98 + 1.4 = -5.88 + 1.4 = -4.48 < 0, deci este maxim.
51 punct
Concluzia: Numărul de unități care maximizează profitul este aproximativ 98.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.