MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+15x+200C(x)=0.01x^3-0.6x^2+15x+200, unde xx este numărul de unități produse (în mii) și C(x)C(x) este în mii de euro. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=45−0.5xp(x)=45-0.5x (în euro). Determinați cantitatea care maximizează profitul companiei și valoarea acestui profit maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției de venit: V(x)=x⋅p(x)=x(45−0.5x)=45x−0.5x2V(x)=x \cdot p(x)=x(45-0.5x)=45x-0.5x^2 (în mii de euro, deoarece xx este în mii).
22 puncte
Funcția profit: Π(x)=V(x)−C(x)=(45x−0.5x2)−(0.01x3−0.6x2+15x+200)=−0.01x3+0.1x2+30x−200\Pi(x)=V(x)-C(x)=(45x-0.5x^2)-(0.01x^3-0.6x^2+15x+200)=-0.01x^3+0.1x^2+30x-200.
33 puncte
Determinarea punctelor critice: Π′(x)=−0.03x2+0.2x+30=0⇒0.03x2−0.2x−30=0⇒3x2−20x−3000=0⇒x=20±400+360006=20±1906\Pi'(x)=-0.03x^2+0.2x+30=0 \Rightarrow 0.03x^2-0.2x-30=0 \Rightarrow 3x^2-20x-3000=0 \Rightarrow x=\frac{20\pm\sqrt{400+36000}}{6}=\frac{20\pm 190}{6}, deci x1=35x_1=35 și x2=−1706x_2=-\frac{170}{6} (negativ, se exclude).
42 puncte
Verificarea maximului: Π′′(x)=−0.06x+0.2\Pi''(x)=-0.06x+0.2, Π′′(35)=−0.06⋅35+0.2=−2.1+0.2=−1.9<0\Pi''(35)=-0.06\cdot35+0.2=-2.1+0.2=-1.9<0, deci profitul este maxim pentru x=35x=35 (adică 35 000 de unități).
51 punct
Calculul profitului maxim: Π(35)=−0.01⋅353+0.1⋅352+30⋅35−200=−428.75+122.5+1050−200=543.75\Pi(35)=-0.01\cdot35^3+0.1\cdot35^2+30\cdot35-200=-428.75+122.5+1050-200=543.75 mii euro, adică 543 750 euro.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.