MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−1.2x2+60x+500C(x) = 0.01x^3 - 1.2x^2 + 60x + 500, unde xx este numărul de unități produse (în mii). Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=100−0.5xp(x) = 100 - 0.5x (în lei). Determinați numărul de unități care trebuie produse și vândute pentru a maximiza profitul companiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției profitului: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(100−0.5x)−(0.01x3−1.2x2+60x+500)=−0.01x3+0.7x2+40x−500P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(100 - 0.5x) - (0.01x^3 - 1.2x^2 + 60x + 500) = -0.01x^3 + 0.7x^2 + 40x - 500.
23 puncte
Calculul derivatei: P′(x)=−0.03x2+1.4x+40P'(x) = -0.03x^2 + 1.4x + 40 și rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x)=0: −0.03x2+1.4x+40=0⇒3x2−140x−4000=0-0.03x^2 + 1.4x + 40 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 140x - 4000 = 0.
33 puncte
Găsirea rădăcinilor: Δ=1402+4⋅3⋅4000=67600=2602\Delta = 140^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4000 = 67600 = 260^2, deci x1,2=140±2606x_{1,2} = \frac{140 \pm 260}{6}. Se obține x1=2003x_1 = \frac{200}{3} (pozitiv) și x2=−20x_2 = -20 (negativ). Studiul semnului derivatei arată că pentru x<2003x < \frac{200}{3}, P′(x)>0P'(x) > 0, iar pentru x>2003x > \frac{200}{3}, P′(x)<0P'(x) < 0, deci la x=2003x = \frac{200}{3} funcția are un maxim.
42 puncte
Concluzie: numărul de unități este 2003\frac{200}{3} mii, adică aproximativ 66.667 unități.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.