MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMatematică aplicată
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+10x+1000C(x) = 0.1x^2 + 10x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați cantitatea care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Scrierea funcției venit: R(x)=x⋅p(x)=x(200−0.5x)=200x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(200 - 0.5x) = 200x - 0.5x^2.
21 punct
Scrierea funcției profit: P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.1x2+10x+1000)=−0.6x2+190x−1000P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 10x + 1000) = -0.6x^2 + 190x - 1000.
32 puncte
Calculul derivatei funcției profit: P′(x)=−1.2x+190P'(x) = -1.2x + 190.
43 puncte
Aflarea punctelor critice: P′(x)=0⇒−1.2x+190=0⇒x=1901.2=4753P'(x) = 0 \Rightarrow -1.2x + 190 = 0 \Rightarrow x = \frac{190}{1.2} = \frac{475}{3}.
52 puncte
Verificarea maximului: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci punctul este de maxim.
61 punct
Calculul profitului maxim: P(4753)=−0.6(4753)2+190⋅4753−1000=902503−1353759−1000=270750−135375−90009=1263759=14041.6‾P\left(\frac{475}{3}\right) = -0.6 \left(\frac{475}{3}\right)^2 + 190 \cdot \frac{475}{3} - 1000 = \frac{90250}{3} - \frac{135375}{9} - 1000 = \frac{270750 - 135375 - 9000}{9} = \frac{126375}{9} = 14041.\overline{6} lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.