MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+20x+500C(x) = 0.1x^2 + 20x + 500, unde xx este numărul de unități produse (exprimat în mii). Venitul total din vânzare este V(x)=100x−0.5x2V(x) = 100x - 0.5x^2 (exprimat în mii de lei). Se cere: a) Să se determine funcția profitului total P(x)=V(x)−C(x)P(x) = V(x) - C(x). b) Să se afle numărul de unități ce trebuie produse pentru ca profitul să fie maxim. c) Să se calculeze valoarea maximă a profitului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm profitul: P(x)=V(x)−C(x)=(100x−0.5x2)−(0.1x2+20x+500)=−0.6x2+80x−500P(x) = V(x) - C(x) = (100x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 20x + 500) = -0.6x^2 + 80x - 500.
23 puncte
Derivăm: P′(x)=−1.2x+80P'(x) = -1.2x + 80. Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0: −1.2x+80=0⇒x=801.2=2003≈66.67-1.2x + 80 = 0 \Rightarrow x = \frac{80}{1.2} = \frac{200}{3} \approx 66.67. Deci x=2003x = \frac{200}{3} mii unități.
33 puncte
Verificăm maximul: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci funcția este concavă și punctul critic este de maxim.
42 puncte
Calculăm profitul maxim: P(2003)=−0.6(2003)2+80⋅2003−500=−0.6⋅400009+160003−500=−240009+480009−45009=215009≈2388.89P\left(\frac{200}{3}\right) = -0.6 \left(\frac{200}{3}\right)^2 + 80 \cdot \frac{200}{3} - 500 = -0.6 \cdot \frac{40000}{9} + \frac{16000}{3} - 500 = -\frac{24000}{9} + \frac{48000}{9} - \frac{4500}{9} = \frac{21500}{9} \approx 2388.89 mii lei, adică aproximativ 2.388.890 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.