MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie dreptunghiulară cu bază pătrată trebuie să aibă un volum de 3232 m³. Materialul pentru bază costă 55 lei/m², iar pentru pereții laterali costă 33 lei/m². Determinați dimensiunile cutiei care minimizează costul total al materialului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notând cu xx latura bazei și cu hh înălțimea, din x2h=32x^2 h = 32 obținem h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Costul total este C(x)=5x2+12xh=5x2+384xC(x) = 5x^2 + 12x h = 5x^2 + \frac{384}{x}, pentru x>0x>0.\n
24 puncte
Derivata C′(x)=10x−384x2C'(x) = 10x - \frac{384}{x^2}. Rezolvând C′(x)=0C'(x)=0 se obține 10x3=38410x^3 = 384, deci x=38.43≈3.36x = \sqrt[3]{38.4} \approx 3.36 m.\n
33 puncte
Verificând semnul derivatei, C′(x)<0C'(x)<0 pentru x<38.43x<\sqrt[3]{38.4} și C′(x)>0C'(x)>0 pentru x>38.43x>\sqrt[3]{38.4}, deci x≈3.36x \approx 3.36 m dă un minim. Atunci h=32x2≈2.83h = \frac{32}{x^2} \approx 2.83 m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.