MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie Analitică
De la baza unui turn, se măsoară unghiul de elevație la vârful steagului de pe turn, obținându-se 30∘30^\circ. Mergând 5050 de metri spre turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Să se determine înălțimea turnului (fără steag) și înălțimea steagului. Se neglijează înălțimea observatorului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notații: hh = înălțimea turnului, xx = înălțimea steagului, dd = distanța inițială de la observator la turn. Din primul unghi: tan⁡30∘=h+xd⇒13=h+xd⇒d=(h+x)3\tan 30^\circ = \frac{h+x}{d} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h+x}{d} \Rightarrow d = (h+x)\sqrt{3}.
23 puncte
Din al doilea unghi, după ce se merge 5050 m spre turn: tan⁡45∘=h+xd−50⇒1=h+xd−50⇒d−50=h+x\tan 45^\circ = \frac{h+x}{d-50} \Rightarrow 1 = \frac{h+x}{d-50} \Rightarrow d-50 = h+x.
32 puncte
Substituind dd din prima ecuație în a doua: (h+x)3−50=h+x⇒(h+x)(3−1)=50⇒h+x=503−1(h+x)\sqrt{3} - 50 = h+x \Rightarrow (h+x)(\sqrt{3} - 1) = 50 \Rightarrow h+x = \frac{50}{\sqrt{3} - 1}.
42 puncte
Raționalizarea: h+x=50(3+1)(3−1)(3+1)=50(3+1)2=25(3+1)h+x = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{2} = 25(\sqrt{3}+1) metri. Pentru a găsi hh și xx separat, se necesită o ecuație suplimentară, dar enunțul cere doar înălțimea turnului și a steagului? Problema spune 'Să se determine înălțimea turnului (fără steag) și înălțimea steagului.', dar cu datele date, se obține doar suma h+xh+x. Presupunem că steagul este inclus în măsurători, deci răspunsul este h+x=25(3+1)≈68,3h+x = 25(\sqrt{3}+1) \approx 68,3 m pentru total. Dacă se consideră că unghiurile sunt la vârful steagului, atunci hh și xx nu pot fi separate fără informație suplimentară, deci se poate răspunde cu suma. Se poate considera că turnul este hh și steagul xx, dar suma este dată de 25(3+1)25(\sqrt{3}+1) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.