MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptotePolinoame
Demonstrați că pentru o funcție rațională f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, unde PP și QQ sunt polinoame cu coeficienți reali, există o asimptotă orizontală dacă și numai dacă gradul lui PP este mai mic sau egal cu gradul lui QQ. Specificați ecuația asimptotei în fiecare caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Cazul grad(P) < grad(Q): se calculează lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0, deci asimptota orizontală este y=0y = 0.
24 puncte
Cazul grad(P) = grad(Q): fie P(x)=anxn+⋯+a0P(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 și Q(x)=bnxn+⋯+b0Q(x) = b_n x^n + \cdots + b_0; atunci lim⁡x→±∞f(x)=anbn\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_n}, deci asimptota orizontală este y=anbny = \frac{a_n}{b_n}.
32 puncte
Concluzie: dacă grad(P) > grad(Q), nu există asimptotă orizontală (ci eventual oblică), completând demonstrația condiției.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.