MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră dezvoltarea binomială a expresiei (x2+1x)n\left(x^{2} + \dfrac{1}{x}\right)^{n}. Determinați toate valorile naturale ale lui nn pentru care există exact trei termeni cu puteri nenegative ale lui xx (adică exponentul lui xx este ≥0\ge 0).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general este Tk+1=Cnk(x2)n−k(1x)k=Cnkx2(n−k)−k=Cnkx2n−3k.T_{k+1} = C_{n}^k (x^2)^{n-k} \left(\dfrac{1}{x}\right)^k = C_{n}^k x^{2(n-k)-k} = C_{n}^k x^{2n - 3k}.\n
24 puncte
Condiția ca un termen să aibă exponent nenegativ este 2n−3k≥0⇒k≤2n32n - 3k \ge 0 \Rightarrow k \le \dfrac{2n}{3}. Valorile posibile pentru kk sunt k=0,1,…,⌊2n3⌋k = 0,1,\dots, \left\lfloor \dfrac{2n}{3} \right\rfloor. Numărul termenilor cu exponent nenegativ este deci ⌊2n3⌋+1\left\lfloor \dfrac{2n}{3} \right\rfloor + 1.\n
33 puncte
Impunem ⌊2n3⌋+1=3⇒⌊2n3⌋=2\left\lfloor \dfrac{2n}{3} \right\rfloor + 1 = 3 \Rightarrow \left\lfloor \dfrac{2n}{3} \right\rfloor = 2. Aceasta înseamnă 2≤2n3<3⇒3≤n<4,52 \le \dfrac{2n}{3} < 3 \Rightarrow 3 \le n < 4,5. Singurele valori naturale sunt n=3n = 3 și n=4n = 4. Concluzie: n∈{3,4}n \in \{3,4\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.