MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateGeometrie Analitică
Punctul B este situat la 60 km de o cale ferată dreaptă. Pe calea ferată, distanța de la punctul A până la C (punctul cel mai apropiat de B) este de 285 km. Se construiește o stație pe calea ferată la distanța xx km de C (pe partea spre A). Timpul total de la A până la B este suma timpului cu trenul de la A la stație și a timpului cu automobilul de la stație la B. Viteza trenului este 52 km/h, iar viteza pe drum este 20 km/h. Determinați valoarea lui xx care minimizează timpul total A→B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notând xx distanța stației de la C spre A, formulați timpul total T(x)=285−x52+x2+60220T(x)=\dfrac{285-x}{52}+\dfrac{\sqrt{x^2+60^2}}{20} pentru 0≤x≤2850\le x\le285 (explicați geometria dreptunghiului și distanța stație–B).
25 puncte
Derivați T′(x)=−152+x20x2+3600T'(x)=-\dfrac{1}{52}+\dfrac{x}{20\sqrt{x^2+3600}}, impuneți T′(x)=0T'(x)=0 și rezolvați pentru xx: obțineți ecuația xx2+3600=513\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3600}}=\dfrac{5}{13}, pătrați și rezolvați rezultând x=25x=25 km.
32 puncte
Verificați că soluția este în domeniu și concluzionați că stația trebuie construită la 2525 km de C spre A.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.