MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivate
Rezolvați: Un cilindru cu suprafața laterală maximă este înscris într-un con. Găsiți raportul dintre înălțimea conului și înălțimea cilindrului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Reprezentați cilindrul înscris coaxial în con. Fie xx înălțimea cilindrului şi rr raza bazei cilindrului. Dacă cilindrul are baza pe planul bazei conului, raza la înălțimea xx a conului este r=R(1−xH)r=R\left(1-\dfrac{x}{H}\right).
23 puncte
Scrieți suprafața laterală a cilindrului ca funcție a lui xx: S(x)=2πrx=2πR x(1−xH)S(x)=2\pi r x=2\pi R\,x\left(1-\dfrac{x}{H}\right).
33 puncte
Maximizați S(x)S(x) pe [0,H][0,H]. Dacă notăm u=xHu=\dfrac{x}{H}, atunci S(u)=2πRH u(1−u)S(u)=2\pi R H\,u(1-u), derivata este S′(u)=2πRH(1−2u)S'(u)=2\pi R H(1-2u), soluția critică este u=12u=\dfrac{1}{2} (maximum). Deci x=H2x=\dfrac{H}{2}.
41 punct
Concluzie: raportul dintre înălțimea conului și înălțimea cilindrului este Hx=2\dfrac{H}{x}=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.