MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați termenul independent de xx în expresia (x+1x)12+(x−1x)12.\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{12} + \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{12}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
În dezvoltarea lui (x+1x)12\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{12}, termenul general este Tk+1=C12kx12−k(1x)k=C12kx12−2kT_{k+1} = C_{12}^k x^{12-k} \left(\dfrac{1}{x}\right)^k = C_{12}^k x^{12 - 2k}. Pentru termen independent de xx impunem 12−2k=0⇒k=612 - 2k = 0 \Rightarrow k = 6. Termenul independent este C126C_{12}^{6}.\n
23 puncte
În dezvoltarea lui (x−1x)12\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^{12}, termenul general este Tk+1′=C12kx12−k(−1x)k=C12k(−1)kx12−2kT_{k+1}' = C_{12}^k x^{12-k} \left(-\dfrac{1}{x}\right)^k = C_{12}^k (-1)^k x^{12 - 2k}. Pentru k=6k = 6 avem (−1)6=1(-1)^6 = 1, deci termenul independent este din nou C126C_{12}^{6}.\n
34 puncte
Termenul independent de xx în suma celor două dezvoltări este C126+C126=2C126=2⋅924=1848C_{12}^{6} + C_{12}^{6} = 2C_{12}^{6} = 2 \cdot 924 = 1848.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.