MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției f(x)=3x4−8x3+6x2+1f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata f′(x)=12x3−24x2+12x=12x(x−1)2f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x-1)^2.
23 puncte
Determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=1x=1, și calculați valorile funcției f(0)=1f(0)=1, f(1)=2f(1)=2.
33 puncte
Analizați semnul lui f′(x)f'(x) pentru intervalele determinate de punctele critice: pentru x<0x<0 avem f′(x)<0f'(x)<0 (descrescătoare), pentru 0<x<10<x<1 avem f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare), pentru x>1x>1 avem f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare).
42 puncte
Concluzionați tipurile de extreme: la x=0x=0 derivata își schimbă semnul de la - la + ⇒ minim local cu valoarea f(0)=1f(0)=1; la x=1x=1 derivata nu își schimbă semnul (multiplicitate pară) ⇒ nu este extrem (punct critic cu tangenta orizontală).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.