MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a există cel puțin un c, pentru orice b, astfel încât sistemul de ecuații {2x+by=ac2+cbx+2y=c−1\begin{cases}2x + by = ac^2 + c \\ bx + 2y = c - 1\end{cases} are cel puțin o soluție?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm matricea coeficienților (2bb2)\begin{pmatrix}2 & b\\ b & 2\end{pmatrix} cu determinant 4−b24-b^{2}. Dacă 4−b2≠04-b^{2}\neq0 (adică b≠±2b\neq\pm2) sistemul are soluţie pentru orice vector termenii liberi, deci pentru orice cc.\
24 puncte
Verificăm cazurile singulare. Pentru b=2b=2 ecuaţiile devin identice doar dacă ac2+c=c−1ac^{2}+c=c-1, adică ac2=−1ac^{2}=-1. Există c∈Rc\in\mathbb{R} astfel încât aceasta să fie adevărată iff a<0a<0. Pentru b=−2b=-2 condiţia de compatibilitate este c−1=−(ac2+c)c-1=-(ac^{2}+c), adică ac2+2c−1=0ac^{2}+2c-1=0, care are soluţii reale iff discriminantul 4+4a≥04+4a\ge0, adică a≥−1a\ge-1.\
33 puncte
Pentru ca pentru orice bb (inclusiv b=±2b=\pm2) să existe cel puţin un cc, trebuie ca condiţiile pentru b=2b=2 şi b=−2b=-2 să fie simultan îndeplinite. Rezultă −1≤a<0-1\le a<0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.