MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniarePolinoameIdentități algebrice
Rezolvați sistemul: {3xy−x2−y2=5,7x2y2−x4−y4=155\begin{cases}3xy - x^2 - y^2 = 5, \\ 7x^2y^2 - x^4 - y^4 = 155\end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm s=x2+y2s=x^2+y^2 și p=xyp=xy. Din prima ecuație obținem s=3p−5s=3p-5. Observăm că x4+y4=s2−2p2x^4+y^4=s^2-2p^2.
24 puncte
Înlocuind în a doua ecuație avem 7p2−(s2−2p2)=1557p^2-(s^2-2p^2)=155, adică 9p2−s2=1559p^2-s^2=155. Înlocuind s=3p−5s=3p-5 rezultă 9p2−(3p−5)2=155⇒30p−25=155⇒p=69p^2-(3p-5)^2=155\Rightarrow 30p-25=155\Rightarrow p=6, deci s=13s=13.
33 puncte
Avem x2+y2=13x^2+y^2=13 și xy=6xy=6, deci (x+y)2=13+2⋅6=25(x+y)^2=13+2\cdot6=25, astfel x+y=5x+y=5 sau x+y=−5x+y=-5. Rezolvând fiecare caz ca ecuație de gradul II pentru xx (sau yy) se obțin soluțiile reale (x,y)=(3,2),(2,3),(−3,−2),(−2,−3)(x,y)=(3,2),(2,3),(-3,-2),(-2,-3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.