MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a există cel puțin un c, pentru orice b, astfel încât sistemul de ecuații {x+by=ac2+cbx+2y=c−1\begin{cases}x + by = ac^2 + c \\ bx + 2y = c - 1\end{cases} are cel puțin o soluție?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Matricea coeficienţilor este (1bb2)\begin{pmatrix}1 & b\\ b & 2\end{pmatrix} cu determinant 2−b22-b^{2}. Dacă b≠±2b\neq\pm\sqrt{2} sistemul are soluţie pentru orice cc.\
24 puncte
Pentru b=2b=\sqrt{2} compatibilitatea impune c−1=2(ac2+c)c-1=\sqrt{2}(ac^{2}+c), adică ecuaţia quadratică 2ac2+(2−1)c+1=0\sqrt{2}a c^{2}+(\sqrt{2}-1)c+1=0 în cc. Ea are soluţie reală dacă fie a=0a=0 (atunci este lineară şi admită soluţie), fie discriminantul (2−1)2−42a≥0 (\sqrt{2}-1)^{2}-4\sqrt{2}a\ge0, care echivalează cu a≤32−48a\le\dfrac{3\sqrt{2}-4}{8}.\
33 puncte
Pentru b=−2b=-\sqrt{2} compatibilitatea dă 2ac2+(2+1)c−1=0\sqrt{2}a c^{2}+(\sqrt{2}+1)c-1=0, care are soluţie reală fie pentru a=0a=0, fie dacă discriminantul (2+1)2+42a≥0(\sqrt{2}+1)^{2}+4\sqrt{2}a\ge0, adică a≥−32−48a\ge\dfrac{-3\sqrt{2}-4}{8}. Împreună, pentru ca ambele cazuri să aibă soluţii, trebuie −32−48≤a≤32−48\dfrac{-3\sqrt{2}-4}{8}\le a\le\dfrac{3\sqrt{2}-4}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.