MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebrice
În dezvoltarea binomială a expresiei (2x3−1x)n\left(2x^3 - \dfrac{1}{x}\right)^n, coeficientul termenului care nu conține variabila xx este egal cu C124C_{12}^{4}. Determinați nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general este Tk+1=Cnk(2x3)n−k(−1x)k=Cnk2n−k(−1)kx3(n−k)−k=Cnk2n−k(−1)kx3n−4kT_{k+1} = C_n^k (2x^3)^{n-k}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^k = C_n^k 2^{n-k}(-1)^k x^{3(n-k)-k} = C_n^k 2^{n-k}(-1)^k x^{3n - 4k}.\n
23 puncte
Impuneți condiția ca exponentul lui xx să fie 0: 3n−4k=0⇒k=3n43n - 4k = 0 \Rightarrow k = \dfrac{3n}{4}. Deci nn este multiplu de 4. Coeficientul absolut al termenului este Cn3n/42n/4C_n^{3n/4} 2^{n/4}.\n
34 puncte
Condiția Cnn/4=C124=495C_n^{n/4} = C_{12}^{4} = 495 este satisfăcută doar pentru n=12n = 12. Concluzie: n=12n = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.