MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorLogaritmi
Găsiți valoarea cea mai mare a funcției y=7+2xln⁡25−5x−1−52−xy = 7 + 2x \ln 25 - 5^{x-1} - 5^{2-x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm derivata: y′=2ln⁡25−5x−1ln⁡5+52−xln⁡5y' = 2\ln 25 - 5^{x-1}\ln 5 + 5^{2-x}\ln 5. Notăm t=5x−1>0t=5^{x-1}>0, atunci 52−x=5/t5^{2-x}=5/t și ecuația y′=0y'=0 devine 2ln⁡25+ln⁡5(5−t2t)=02\ln 25 + \ln 5\left(\dfrac{5-t^2}{t}\right)=0.
24 puncte
Folosind ln⁡25=2ln⁡5\ln 25=2\ln 5 obținem ln⁡5 (−t2+4t+5)=0\ln 5\,( -t^2+4t+5)=0, deci t2−4t−5=0t^2-4t-5=0 și t=5t=5 (se respinge soluția negativă). Din 5x−1=55^{x-1}=5 rezultă x=2x=2.
32 puncte
Verificăm că este maximum: y′′=−(ln⁡5)2(5x−1+52−x)<0y''=-(\ln 5)^2(5^{x-1}+5^{2-x})<0, deci punctul critic este maxim. Valoarea maximă este y(2)=7+4ln⁡25−5−1=1+4ln⁡25=1+8ln⁡5y(2)=7+4\ln 25-5-1=1+4\ln 25=1+8\ln 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.