MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateLogaritmi
Găsiți valoarea minimă a funcției y=3x+2⋅33−x−xln⁡27−9y = 3^x + 2\cdot 3^{3-x} - x \ln 27 - 9 pentru x real.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se face substituţia t=3xt=3^x (deci t>0t>0). Observăm 33−x=27/t3^{3-x}=27/t şi xln⁡27=3ln⁡tx\ln 27=3\ln t, deci y=t+54t−3ln⁡t−9y=t+\dfrac{54}{t}-3\ln t-9.
24 puncte
Calculăm derivata în raport cu tt: y′(t)=1−54t2−3ty'(t)=1-\dfrac{54}{t^2}-\dfrac{3}{t}. Rezolvăm y′(t)=0⇒t2−3t−54=0y'(t)=0\Rightarrow t^2-3t-54=0, rezultând singura soluţie pozitivă t=9t=9.
33 puncte
Din 3x=t=93^x=t=9 avem x=2x=2. Valoarea minimă este ymin⁡=9+549−3ln⁡9−9=6−6ln⁡3y_{\min}=9+\dfrac{54}{9}-3\ln 9-9=6-6\ln 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.