MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMonotonie și convexitate
Determinați pentru ce valoare a lui x expresia 2x2−1+22x2+22^{x^2} - 1 + \frac{2}{2^{x^2}+2} are valoarea minimă (pentru x real).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm t=2x2t=2^{x^2}, deci t≥1t\ge 1. Funcţia devine f(t)=t−1+2t+2f(t)=t-1+\dfrac{2}{t+2}.
24 puncte
Calculăm derivata: f′(t)=1−2(t+2)2f'(t)=1-\dfrac{2}{(t+2)^2}. Pentru t≥1t\ge 1 avem (t+2)2≥9(t+2)^2\ge 9 astfel 2(t+2)2≤29<1\dfrac{2}{(t+2)^2}\le\dfrac{2}{9}<1, deci f′(t)>0f'(t)>0 pe [1,∞)[1,\infty) şi ff este strict crescătoare.
33 puncte
Minimul se obţine la t=1t=1, adică 2x2=1⇒x=02^{x^2}=1\Rightarrow x=0. Valoarea minimă este f(1)=23f(1)=\dfrac{2}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.