MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Determinați coeficientul lui x10x^{10} în dezvoltarea expresiei (1+x)8(1+x2)6.\left(1 + x\right)^{8} \left(1 + x^{2}\right)^{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți termenul general al fiecărui binom: în (1+x)8\left(1+x\right)^8 termenul general este C8kxkC_8^k x^{k}, iar în (1+x2)6\left(1+x^2\right)^6 termenul general este C6jx2jC_6^j x^{2j}. Produsul general este C8kC6jxk+2jC_8^k C_6^j x^{k+2j}.\n
24 puncte
Pentru a obține termenul x10x^{10} avem condiția k+2j=10k + 2j = 10, cu 0≤k≤80 \le k \le 8, 0≤j≤60 \le j \le 6. Determinăm toate perechile posibile: (k,j)∈{(8,1),(6,2),(4,3),(2,4),(0,5)}(k,j) \in \{(8,1), (6,2), (4,3), (2,4), (0,5)\}.\n
33 puncte
Coeficientul lui x10x^{10} este suma corespunzătoare: C88C61+C86C62+C84C63+C82C64+C80C65=1⋅6+28⋅15+70⋅20+28⋅15+1⋅6=6+420+1400+420+6=2252C_8^8 C_6^1 + C_8^6 C_6^2 + C_8^4 C_6^3 + C_8^2 C_6^4 + C_8^0 C_6^5 = 1\cdot 6 + 28\cdot 15 + 70\cdot 20 + 28\cdot 15 + 1\cdot 6 = 6 + 420 + 1400 + 420 + 6 = 2252. Deci coeficientul este 2252.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.