MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateMonotonie și convexitate
Investigați comportamentul funcției y=x3−4(x−1)3y = \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} și construiți graficul. Câte rădăcini are ecuația x3−4(x−1)3=c\frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} = c?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Determinați domeniul de definiție D=R∖{1}D=\mathbb{R}\setminus\{1\} și punctele de discontinuitate (asimptota verticală x=1x=1).
22 puncte
Calculați limitele la infinit și în jurul asimptotei: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1, lim⁡x→1−f(x)=+∞\lim_{x\to1^-} f(x)=+\infty, lim⁡x→1+f(x)=−∞\lim_{x\to1^+} f(x)=-\infty (concluzie: asimptotă orizontală y=1y=1 și comportament lângă x=1x=1).
33 puncte
Derivați și studiați monotonia: f′(x)=3(x−1)2(4−x2)(x−1)6=3(4−x2)(x−1)4f'(x)=\dfrac{3(x-1)^2(4-x^2)}{(x-1)^6}=\dfrac{3(4-x^2)}{(x-1)^4}, puncte critice la x=±2x=\pm2 (și discontinuitate la x=1x=1). Determinați semnul și intervalele de monotonie: descrescătoare pe (−∞,−2)(-\infty,-2), crescătoare pe (−2,1)(-2,1), crescătoare pe (1,2)(1,2), descrescătoare pe (2,∞)(2,\infty); extrem local Min la x=−2x=-2, Max la x=2x=2.
42 puncte
Studiați concavitatea/inflecțiile (a doua derivată) sumar: identificați comportamentul curburii și punctele de inflexiune posibile; folosiți informațiile pentru schița precisă a graficului.
52 puncte
Determinați valoarea extremelor f(−2)=49f(-2)=\tfrac{4}{9}, f(2)=4f(2)=4, reuniți intervalele de valori pe fiecare componentă și concluzionați numărul de soluții pentru f(x)=cf(x)=c: pentru c>4c>4 are 1 soluție; c=4c=4 are 2 soluții (de ex. x=0,2x=0,2); 1<c<41<c<4 are 3 soluții; c=1c=1 are 2 soluții; 49<c<1\tfrac{4}{9}<c<1 are 3 soluții; c=49c=\tfrac{4}{9} are 2 soluții; c<49c<\tfrac{4}{9} are 1 soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.