MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitate
Folosind definiția, arătați că funcția f(x)={xsin⁡(1/x),x≠00,x=0f(x)=\begin{cases} x\sin(1/x), & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases} este continuă în punctul x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Formulați definiția continuității în x=0x=0: pentru orice ε>0\varepsilon>0 există δ>0\delta>0 astfel încât ∣x−0∣<δ⇒∣f(x)−f(0)∣<ε|x-0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon.
24 puncte
Pentru x≠0x\neq0 calculați ∣f(x)−f(0)∣=∣xsin⁡(1/x)−0∣≤∣x∣|f(x)-f(0)|=|x\sin(1/x)-0|\le |x| deoarece ∣sin⁡(1/x)∣≤1|\sin(1/x)|\le1.
33 puncte
Alegeți δ=ε\delta=\varepsilon. Atunci dacă ∣x∣<δ|x|<\delta rezultă ∣f(x)−f(0)∣≤∣x∣<ε|f(x)-f(0)|\le|x|<\varepsilon, deci funcția este continuă în 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.