MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateGeometrie Analitică
Rezolvați: Determinați înălțimea conului de volum minim circumscris unui semisferă de rază R=3R = \sqrt{3} astfel încât centrul bazei conului să coincidă cu centrul sferei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Configurați axa coneului pe axa zz, cu centrul sferei în origine, baza conului în planul z=0z=0 având raza rr și vârful la z=h>0z=h>0. Condiția de tangență între generatoare și semisferă implică: r2=R2h2h2−R2\displaystyle r^2=\frac{R^2 h^2}{h^2-R^2}.
23 puncte
Volumul conului este V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^2 h, înlocuind r2r^2 rezultă V(h)=13πR2h3h2−R2V(h)=\frac{1}{3}\pi\frac{R^2 h^3}{h^2-R^2}. Pentru R2=3R^2=3 se obține V(h)=πh3h2−3V(h)=\pi\dfrac{h^3}{h^2-3}, definit pentru h>3h>\sqrt{3}.
33 puncte
Derivați V(h)V(h): V′(h)=πh2(h2−9)(h2−3)2V'(h)=\pi\dfrac{h^2(h^2-9)}{(h^2-3)^2}; egalând cu zero obțineți h=3h=3 (singura soluție pozitivă relevantă). Verificați că este minim (analiză semnului sau V′′(3)>0V''(3)>0).
42 puncte
Calculați volumul minim: Vmin⁡=π3332−3=92πV_{\min}=\pi\dfrac{3^3}{3^2-3}=\frac{9}{2}\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.