MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea A4n+1Cn−3n−1>14P3\dfrac{A_{4}^{n+1}}{C_{n-3}^{n-1}} > 14P_{3}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimați în factoriali: A4n+1=(n+1)!(n+1−4)!=(n+1)!(n−3)!A_{4}^{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1-4)!} = \dfrac{(n+1)!}{(n-3)!}, iar Cn−3n−1=(n−1)!(n−3)!2!C_{n-3}^{n-1} = \dfrac{(n-1)!}{(n-3)!2!}. De asemenea, P3=3!=6P_{3} = 3! = 6. Domeniu: n≥3n \geq 3.\n
23 puncte
Simplificați raportul: [\dfrac{A_{4}^{n+1}}{C_{n-3}^{n-1}} = \dfrac{(n+1)!}{(n-3)!} \cdot \dfrac{(n-3)!2!}{(n-1)!} = 2\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!} = 2n(n+1).] Inegalitatea devine 2n(n+1)>14⋅6=842n(n+1) > 14\cdot 6 = 84, adică n(n+1)>42n(n+1) > 42.\n
33 puncte
Rezolvați n2+n−42>0  ⟺  (n−6)(n+7)>0n^{2}+n-42 > 0 \iff (n-6)(n+7) > 0. Pentru n∈Nn \in \mathbb{N} rezultă n>6n > 6, deci soluția este n∈{7,8,9,… }.n \in \{7,8,9,\dots\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.