MediuCombinatoricăClasa 11

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Câți termeni negativi are șirul (xn)(x_n), unde xn=C4n+5−14396⋅Pn+5Pn+3, n∈Nx_n = C_{4}^{n+5} - \dfrac{143}{96} \cdot \dfrac{P_{n+5}}{P_{n+3}},\ n \in \mathbb{N}?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimați termenii în factoriali: C4n+5=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)24C_{4}^{n+5} = \dfrac{(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)}{24}, iar Pn+5Pn+3=(n+5)!(n+3)!=(n+5)(n+4)\dfrac{P_{n+5}}{P_{n+3}} = \dfrac{(n+5)!}{(n+3)!} = (n+5)(n+4). Rezultă [x_n = (n+5)(n+4)\left( \dfrac{(n+3)(n+2)}{24} - \dfrac{143}{96} \right) = \dfrac{(n+5)(n+4)}{96}\bigl(4(n+3)(n+2) - 143\bigr).]\n
23 puncte
Pentru n∈Nn \in \mathbb{N}, factorii (n+5)(n+4)(n+5)(n+4) și 9696 sunt pozitivi, deci semnul lui xnx_n este dat de f(n)=4(n+3)(n+2)−143=4n2+20n−119f(n) = 4(n+3)(n+2) - 143 = 4n^{2} + 20n - 119. Căutăm xn<0  ⟺  f(n)<0x_n < 0 \iff f(n) < 0. Rezolvați ecuația 4n2+20n−119=04n^{2} + 20n - 119 = 0 și obțineți rădăcini n1=−172n_1 = -\dfrac{17}{2}, n2=72n_2 = \dfrac{7}{2}. Deoarece parabola este cu deschidere în sus, f(n)<0f(n) < 0 pentru −172<n<72-\dfrac{17}{2} < n < \dfrac{7}{2}.\n
33 puncte
Intersectați cu n∈Nn \in \mathbb{N} (considerat {1,2,3,… }\{1,2,3,\dots\}). Rezultă n∈{1,2,3}n \in \{1,2,3\}. Prin calcul direct se verifică x1,x2,x3<0x_1, x_2, x_3 < 0 și x4>0x_4 > 0. Concluzie: șirul are exact 3 termeni negativi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.