MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelor
Punctele A,B,CA,B,C sunt aşezate astfel încât ∣AB∣=285 km|AB|=285\ \mathrm{km} şi ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ. Un automobil pleacă din AA spre BB cu 90 km/h90\ \mathrm{km/h}, iar în acelaşi timp un tren pleacă din BB spre CC cu 60 km/h60\ \mathrm{km/h}. În cât timp după plecare va fi distanţa dintre automobil şi tren minimă?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Modelare radială faţă de BB: după timpul tt distanţa automobilului faţă de BB este r1=285−90tr_1=285-90t, iar a trenului este r2=60tr_2=60t. Unghiul dintre direcţii este 60∘60^\circ.
24 puncte
Folosiţi legea cosinusului pentru pătratul distanţei: D2(t)=r12+r22−2r1r2cos⁡60∘=(285−90t)2+(60t)2−(285−90t)(60t)D^2(t)=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos60^\circ= (285-90t)^2+(60t)^2-(285-90t)(60t). Simplificaţi expresia pentru D2(t)D^2(t) obţinând un polinom quadratic.
33 puncte
Derivaţi D2(t)D^2(t) şi găsiţi minimul: ddtD2(t)=34200t−68400=0⇒t=2\dfrac{d}{dt}D^2(t)=34200t-68400=0\Rightarrow t=2 ore. Concluzie: distanţa este minimă la t=2t=2 h.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.