MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații Neliniare
{sin⁡x+cos⁡y=1x+y=π3\begin{cases} \sin x+\cos y=1 \\ x+y=\dfrac{\pi}{3} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din a doua ecuație avem y=π3−xy=\dfrac{\pi}{3}-x. Substituim în prima: [\sin x+\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{3}-x\Bigr)=1.] \
23 puncte
Folosim formula cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cu α=π3,β=x\alpha=\tfrac{\pi}{3},\beta=x și obținem [\sin x+\tfrac{1}{2}\cos x+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x=1,] adică [(2+\sqrt{3})\sin x+\cos x=2.] Transformăm în forma Rsin⁡(x+φ)R\sin(x+\varphi): cu R=22+3R=2\sqrt{2+\sqrt{3}} și tan⁡φ=12+3=2−3\tan\varphi=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} rezultă φ=π12\varphi=\dfrac{\pi}{12}. \
34 puncte
Ecuația devine Rsin⁡(x+π12)=2R\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{12}\bigr)=2, deci [\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{12}\bigr)=\dfrac{2}{R}=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.] Soluțiile sunt [x+\tfrac{\pi}{12}=\arcsin\Bigl(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\Bigr)+2k\pi\ \text{sau}\ x+\tfrac{\pi}{12}=\pi-\arcsin\Bigl(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\Bigr)+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z},] iar y=π3−xy=\dfrac{\pi}{3}-x le completează.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.