MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorEcuații exponentialeLogaritmi
Găsiți valorile extreme ale funcției f(x)=2⋅3x−4⋅32x+2⋅3xf(x) = 2·3^x - 4·3^{2x} + 2·3^x pe intervalul [−1,1][-1, 1].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observați că se poate scrie f(x)=4⋅3x−4⋅32xf(x)=4\cdot3^x-4\cdot3^{2x}. Calculați derivata: f′(x)=4ln⁡3 (3x−2⋅32x)=4ln⁡3⋅3x(1−2⋅3x)f'(x)=4\ln3\,(3^x-2\cdot3^{2x})=4\ln3\cdot3^x(1-2\cdot3^x).
22 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0. Din expresie rezultă 3x=03^x=0 (imposibil) sau 1−2⋅3x=0⇒3x=12⇒x=−log⁡321-2\cdot3^x=0\Rightarrow 3^x=\tfrac12\Rightarrow x=-\log_3 2, care aparține intervalului [−1,1][-1,1].
32 puncte
Determinați natura extremului folosind a doua derivată: f′′(x)=4(ln⁡3)2(3x−4⋅32x)f''(x)=4(\ln3)^2(3^x-4\cdot3^{2x}). La x=−log⁡32x=-\log_3 2 se obține f′′<0f''<0, deci este un maxim local (și absolut pe interval).
43 puncte
Evaluați valorile: f(−1)=4⋅3−1−4⋅3−2=89f(-1)=4\cdot3^{-1}-4\cdot3^{-2}=\tfrac{8}{9}, f(1)=4⋅3−4⋅9=−24f(1)=4\cdot3-4\cdot9=-24, f(−log⁡32)=4⋅12−4⋅14=1f(-\log_3 2)=4\cdot\tfrac12-4\cdot\tfrac14=1. Concluzie: maximul absolut este în x=−log⁡32x=-\log_3 2 cu valoarea 11, iar minimul absolut este în x=1x=1 cu valoarea −24-24.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.